Calibração do Coeficiente Contínuo do FPM — modelagem técnica

Documento de modelagem da Doutrina 01. Transforma a proposta política ("substituir a tabela de faixas por um coeficiente contínuo per capita com piso de equidade") em método reproduzível: a função, a regra de preservação de massa, o fator de equidade, a aritmética da transição e a especificação exata da rodada com microdados. Os números são ilustrativos até a rodada com FINBRA/TCU/IBGE (especificada na seção 7).

1. O sistema atual (recapitulação formal)

O FPM-Interior distribui um bolo fixo (≈ 86,4% do FPM, fora Capitais e Reserva). Cada município i recebe um coeficiente k_i ∈ {0,6; 0,8; …; 4,0} por faixa de população (Decreto-lei 1.881/1981; tabela do TCU). A distribuição é por quota:

FPM_i = Bolo_Interior × ( k_i / Σ_j k_j )

Duas patologias do k em degraus: - Penhasco: k salta +0,2 ao cruzar um limite (10.188 / 13.584 / 16.980 / …). Ganhar 1 habitante pode valer milhões → incentivo a manipular o Censo (Monastério, IPEA TD 1818). - Regressividade dentro e entre faixas: k é constante na faixa, então o per capita k/P cai ao longo da faixa e dá um salto no limite. Como 5.000 e 10.000 hab estão na mesma faixa (0,6), o de 5.000 recebe o dobro per capita.

2. Objetivos de desenho da função contínua

1. Continuidade: sem saltos (elimina penhasco e manipulação).
2. Monotonicidade: c(P) não-decrescente em P (cidade maior nunca recebe coeficiente menor).
3. Progressividade preservada, regressividade corrigida: o per capita c(P)/P continua decrescente (município pequeno ainda recebe mais por habitante — princípio redistributivo de 1965 mantido), mas sem o degrau que hoje faz o de 5.000 receber o dobro do de 10.000.
4. Preservação de massa: o bolo do FPM-Interior não muda; muda-se a partilha.
5. Equidade dirigida: parcela do recurso segue privação efetiva (CadÚnico), não só tamanho.
6. Transição sem choque: convergência em 10 anos (modelo LC 198/2023).

3. A função c(P) — interpolação contínua + piso de equidade

3.1. Forma base (interpolação linear dos limites oficiais)

Tome os pares (limite superior da faixa, coeficiente) da tabela do TCU como nós de ancoragem:

(10.188 → 0,6), (13.584 → 0,8), (16.980 → 1,0), (23.772 → 1,2), …, (142.633–156.216 → 3,8), (>156.216 → 4,0).

Defina c_base(P) como a interpolação linear entre nós consecutivos. Propriedades imediatas: contínua, monotônica, e coincide com o k atual exatamente nos limites — ou seja, é a mesma envoltória, sem os degraus. Entre dois limites, em vez do salto, há uma rampa.

3.2. Faixa-piso (corrige a regressividade dos micromunicípios)

Abaixo de 10.188 hab, hoje todos recebem k = 0,6 (raiz do "5k = dobro de 10k"). Substitui-se por uma rampa-piso:

c_base(P) = c_min + (0,6 − c_min) · (P / 10.188), para P ≤ 10.188

com c_min (piso para população→0) a calibrar (ilustrativo: c_min = 0,40). Assim o micromunicípio deixa de receber o mesmo coeficiente de um 5× maior; o per capita continua alto (redistributivo), mas sem o windfall do degrau.

3.3. Fator de equidade (privação)

A quota final pondera privação:

share_i = c_base(P_i) · (1 + α · D_i) / Σ_j [ c_base(P_j) · (1 + α · D_j) ] FPM_i = Bolo_Interior × share_i

• D_i = proporção da população de i inscrita no CadÚnico (proxy de pobreza), normalizada em [0,1].
• α = intensidade da correção de equidade (ilustrativo: α = 0,5 → um município com D=1 ganha +50% de peso ante um D=0 de mesmo porte). Calibrar α por simulação de impacto.

3.4. Preservação de massa

Como a distribuição é por share sobre um bolo fixo, a massa agregada do FPM-Interior é automaticamente preservada — a reforma é soma-zero entre municípios no ano-base. Não há aumento de despesa primária. (As cotas de Capitais e Reserva, e os pisos da LC 91/1997, ficam fora desta função e são tratados em dispositivo próprio.)

4. Exemplo numérico ilustrativo

Conjunto sintético de 5 municípios (apenas para mostrar o comportamento; não são quotas reais). Suponha α = 0,5.

Leituras: - Sem penhasco: B (5.000) → C (10.000) sobe de 0,50 a 0,596 de forma suave; cruzar 10.188 não dá salto (D continua a rampa). - Regressividade corrigida: hoje B e C têm o mesmo 0,60 (C recebe metade per capita de B); no contínuo, C (0,596) fica acima de B (0,50) — o per capita decresce, mas sem o degrau que dobrava artificialmente o de B. - Equidade: A é micro e pobre (D alto) → o fator (1+αD) recupera parte do peso, evitando que a correção da regressividade penalize o município pequeno e pobre. O alvo do redirecionamento é o pequeno rico em estrutura/pobre em gente, não o pequeno pobre.

Calibração concluída (não mais ilustrativa). A simulação sobre os 5.543 municípios do FPM-Interior (renda do Censo 2022 como privação) fixou c_min = 0,40 e α = 2,0 — ponto que protege 91% dos pequenos-pobres e realoca R$ 10,18 bi/ano (6,9% do bolo), com redistribuição regional NE +15,1% / N +14,1% / Sul −16,5% (ver §8 e simulacao_fpm.py). Fontes: IBGE Censo 2022 (pop. 4709/93; renda 10295/13431) + bolo FPM-Interior 2024 R$ 147,9 bi (Tesouro/CNM).

5. Aritmética da transição (10 anos)

Para cada município, seja F0 a dotação no ano-base (regra atual) e F* a dotação-alvo (nova fórmula). A trajetória anual respeita o teto de variação de 10% de F0/ano (espelho da LC 198/2023):

F_t = F0 + sinal(F−F0) · min( |F−F0| , 0,10 · F0 · t ), para t = 1…10; F_10 = F*

• Perdedor (F < F0): perde no máximo 10% de F0 por ano; em ≤10 anos converge a F.
• Ganhador (F* > F0): ganha de forma escalonada simétrica.
• Exemplo: município com F0 = R$ 10 mi e F* = R$ 7 mi → perde R$ 1 mi/ano (10%) nos anos 1-3 e estabiliza em R$ 7 mi a partir do ano 3 (queda total de 30%, diluída). Nenhum "abismo" no caixa.

O fundo de transição é neutro (o que um perde, outro ganha, dentro do bolo); a suavização apenas distribui o ajuste no tempo.

6. Interação com o Coeficiente Solidário (Doutrina 03)

Fusão/incorporação: o ente resultante usa, por 10 anos, c = soma dos c_base dos entes originais (em vez de c_base(P_somada)), evitando a perda. Consórcio: bônus aditivo +β no c proporcional aos serviços partilhados (β a calibrar). Ambos entram antes da normalização da share.

7. Especificação da rodada com microdados (o que falta para fechar)

Para sair do ilustrativo e produzir a fórmula calibrada e a tabela de impacto município a município:

Passos: (1) reconstruir k_i e share_i atuais; (2) computar c_base(P_i); (3) grid search em (c_min, α) minimizando deslocamento brusco sujeito a {massa por UF ≥ −X%; per capita monotônico decrescente; ganho dirigido à privação}; (4) gerar tabela F0 → F* → F_1…F_10 por município; (5) publicar simulador aberto (dados abertos).

8. Resultados com dados reais (IBGE, Censo 2022) — rodada executada

Rodada real sobre os 5.570 municípios (população do Censo 2022, IBGE, agregado 4709/var 93; pop. total 203.080.756), excluindo as 27 capitais → 5.543 municípios no FPM-Interior. Script reprodutível: simulacao_fpm.py. Parâmetro c_min = 0,40; sem o termo de equidade (CadÚnico não incluído nesta rodada — ver nota).

Achado 1 — concentração no piso. 2.514 municípios (45,4% do Interior) estão hoje no coeficiente mínimo 0,6. Quase metade do país está na faixa onde a regressividade per capita é máxima.

Achado 2 — descontinuidade de densidade nos cortes (manipulação). Contando municípios numa janela de ±3% em torno de cada corte de faixa (abaixo | acima):

Há muito mais municípios logo acima do que logo abaixo de cada corte — padrão compatível com manipulação populacional para capturar o coeficiente superior (o mesmo fenômeno que Monastério detectou via teste de McCrary). É evidência empírica direta do penhasco.

Achado 3 — a regressividade do degrau, medida. A razão de FPM per capita entre uma cidade de 5.000 e uma de 10.000 habitantes é hoje exatamente 2,00× (ambas no 0,6) e cai para 1,67× com o coeficiente contínuo — gradiente ainda redistributivo, sem o degrau que dobra artificialmente o repasse do menor.

Achado 4 — magnitude e direção da reforma (massa preservada). Sob c(P) puro, com o bolo do FPM-Interior fixo, 2.162 municípios ganham e 3.381 perdem, com 3,47% do bolo realocado. Como os perdedores são majoritariamente os micromunicípios do piso (cuja rampa leva c abaixo de 0,6), a reforma pura desloca recurso dos menores para os maiores.

Achado 5 — em reais (FPM-Interior 2024 ≈ R$ 147,9 bi). Com o bolo real (86,4% de R$ 171,2 bi distribuídos em 2024) e o PIB municipal do IBGE como proxy de privação (PIB per capita baixo → D alto): - Cada município no piso 0,6 recebe hoje ≈ R$ 14 milhões/ano de FPM-Interior — o mesmo valor absoluto tendo 833 (Serra da Saudade) ou ~10.000 habitantes. A disparidade per capita chega a ~12×. É a regressividade em reais. - c(P) puro realoca R$ 5,14 bi/ano (3,47%); com equidade, R$ 5,48 bi/ano (3,70%). - Exemplos (atual → c(P) → c(P)+equidade): Serra da Saudade/MG R$ 14,05 mi → 10,78 → 10,80; Coqueiro Baixo/RS 14,05 → 11,01 → 10,69; Borá/SP 14,05 → 10,81 → 9,94. - Calibração com privação REAL (renda do Censo 2022, var 13431). Trocado o proxy de PIB pela renda domiciliar per capita média (R$/mês: min 289, máx 4.300, mediana ~1.183 — IBGE/Censo 2022). A renda discrimina muito melhor (679 "pequenos-pobres" com D≥0,6, contra 2.283 pelo PIB). Sensibilidade ao peso de equidade α:

Resultado de calibração: com α ≈ 2,0 e a renda do Censo como medida de privação, 91% dos municípios pequenos-e-pobres ficam protegidos (recebem ≥ o atual) enquanto a regressividade é corrigida e ~7% do bolo migra para onde há pobreza efetiva. É o ponto de operação recomendado para o texto da LC; o CadÚnico (quando disponível em microdado) substitui a renda com o mesmo método.

Insight crítico da rodada real: sem o fator de equidade (1+α·D), a des-regressivização castiga o município pequeno e pobre junto com o pequeno rico em estrutura. Logo, o termo de equidade (CadÚnico) não é acessório — é condição para que a reforma redistribua para a pessoa, e não apenas do pequeno para o grande. A calibração final de (c_min, α) deve ser feita conjuntamente, com a restrição de proteger o pequeno-e-pobre (alvo: realocar do pequeno-com-baixa-privação para a periferia metropolitana pobre).

Exemplos reais (k atual → c contínuo): Serra da Saudade/MG (833 hab) 0,6 → 0,416; Borá/SP (907) 0,6 → 0,418; Coqueiro Baixo/RS (1.290) 0,6 → 0,425; União da Serra/RS (1.170) 0,6 → 0,423.

Falta para a versão final: incorporar CadÚnico (D_i) e o bolo em R$ (SICONFI) para converter shares em reais e calibrar (c_min, α) por UF. O mecanismo e o pipeline já estão prontos e reprodutíveis (simulacao_fpm.py).

9. Impacto por região e UF (α = 2,0, renda do Censo como privação)

Agregando o FPM-Interior dos 5.543 municípios por região e UF (atual × reforma com c(P) + equidade α=2,0, massa preservada):

Por região:

Maiores ganhos (UF): AM +25,1%, PA +20,3%, MA +20,0%, RR +19,0%, CE +17,7%, AL +17,7%, PE +17,2%, BA +13,9% (BA: +R$ 1,69 bi, o maior ganho absoluto). Maiores perdas (UF): SC −20,6%, RS −18,3% (o "anel gaúcho" superfragmentado), MT −12,2%, PR −11,5%, SP −10,7% (−R$ 2,25 bi, a maior perda absoluta).

Leitura de política: a reforma é redistributiva no sentido certo — leva FPM para o Norte e o Nordeste (onde a renda domiciliar per capita é mais baixa) e o retira do Sul/Sudeste/Centro-Oeste, em especial dos estados com muitos municípios pequenos e não-pobres (Sul superfragmentado). Os perdedores absolutos (SP, RS, SC, PR) são exatamente os de maior fragmentação per capita. A transição decenal (10%/ano) é o que torna isso negociável: SP perde no máximo ~R$ 225 mi/ano nos primeiros anos, não os R$ 2,25 bi de uma vez. Tabela município a município sai da mesma rodada.

Conexão com outras peças do programa

Verificação

• Método: modelagem própria a partir da tabela do TCU (DL 1.881/1981) e do mecanismo de quota do FPM-Interior; literatura (Mendes, Miranda & Cosio 2008; Monastério 2013).
• Status: método pronto e rodada real completa (5.543 municípios) com três fontes reais: população (Censo 2022), renda domiciliar per capita (Censo 2022, var 13431, como privação) e bolo FPM 2024 em R$. Calibração de (c_min=0,40, α≈2,0) ancorada em dado real (seção 8, simulacao_fpm.py). Refinamento opcional: trocar a renda pelo CadÚnico (mesmo método) e calibrar c_min por UF.
• Data: 2026-05-30.

Fonte primária: Decreto-lei 1.881/1981 + tabela TCU + mecânica de quota do FPM-Interior · modelagem SOMA · 2026-05-30.